Exercice 8, § 3

Soient A un anneau, u : A^p \to A^q une application A-linéaire. On appelle rang de u, et on note rg(u), le plus grand entier r tel que \wedge^r u \neq 0. On note \partial(u) l’idéal de A engendré par les mineurs d’ordre rg(u) de la matrice de u. a) Montrer que pour que \partial(u) soit égal à A, il faut et il suffit que le conoyau de u soit projectif de rang q – rg(u) (se ramener au cas où A est local et écrire la matrice de u dans une base convenable). b) Soit v : A^q \to A^s une application A-linéaire ; on suppose qu’on a \partial(u) = \partial(v) = A. Pour que Ker v = Im u, il faut et il suffit qu’on ait rg(u) + rg(v) = q (même méthode). c) Si rg(u) = q, prouver que \partial(u) annule le conoyau de u (se ramener au cas p = q).