Bài tập 8, § 3

Cho A là một vành, u : A^p \to A^q là một ánh xạ A-tuyến tính. Hạng của u được gọi là, và được ký hiệu bởi rg(u), số nguyên lớn nhất r sao cho \wedge^r u \neq 0. Ta ký hiệu bởi \partial(u) iđêan của A sinh bởi các định thức con cấp rg(u) của ma trận của u. a) Chứng minh rằng để \partial(u) bằng A thì điều kiện cần và đủ là đối hạt nhân của u là xạ ảnh có hạng q – rg(u) (rút gọn về trường hợp A là địa phương và viết ma trận của u trong một cơ sở thích hợp). b) Cho v : A^q \to A^s là một ánh xạ A-tuyến tính; giả sử rằng \partial(u) = \partial(v) = A. Để Ker v = Im u xảy ra, điều kiện cần và đủ là rg(u) + rg(v) = q (cùng phương pháp). c) Nếu rg(u) = q, chứng minh rằng \partial(u) triệt tiêu đối hạt nhân của u (rút gọn về trường hợp p = q).