Exercice 9, § 3

Soient A un anneau, (L, d) un complexe borné de A-modules libres de type fini, nul en degrés < 0. On se propose de prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) On a H_i(L) = 0 pour i > 0 ; (ii) On a \operatorname{prof}_A(\partial(d_i); A) \geq i et rg(d_i) + rg(d_{i+1}) = rg_A(L_i) pour tout i \geq 1. a) Montrer qu’il suffit de prouver cet énoncé lorsque l’anneau A est noethérien (considérer le sous-anneau de A engendré par les coefficients des matrices d_i pour i \geq 1 ). On suppose désormais cette condition vérifiée. b) Si A est un anneau local de dimension 0, prouver que (ii) entraîne (i) (utiliser l’exerc. 8, b)).

c) On suppose que l’anneau $A$ est local, que la condition (ii) est satisfaite, et que $\mathrm{Supp}(H_i(L)) = \{ m_A \}$ pour $i \geq 1$. Prouver que $H_i(L) = 0$ pour $i \geq 0$ (soit $p$ le plus grand entier tel que $\mathfrak{d}(d_p) \neq A$; déduire de l’exerc. 8, b) que $H_i(L_i) = 0$ pour $i > p$, puis de l’exerc. 8, a) et du cor. 2 de la prop. 3 (n° 2) que le complexe $0 \to L_p/B_p(L) \to L_{p-1} \to \ldots \to L_0$ est acyclique en degrés $> 0$.

d) Démontrer l’implication (ii) $\Rightarrow$ (i) (se ramener au cas où $A$ est local, et raisonner par récurrence sur $\dim(A)$).

e) On suppose que le complexe $L$ est acyclique en degrés $> 0$. Soit $p$ un idéal premier associé à $A$. Montrer que pour tout $i \geq 1$ ($\mathrm{Coker}\ d_i$)$_p$ est un $A_p$-module libre, de rang $\sum_{p \geq i-1} (-1)^p \mathrm{rg}_A(L_p)$; de plus on a $\mathrm{rg}((d_i)_p) = \sum_{p \geq i} (-1)^{p-i} \mathrm{rg}_A(L_p)$ et $\mathfrak{d}((d_i)_p) = A_p$ (exerc. 8).

f) En déduire qu’on a $\mathrm{rg}(d_i) = \sum_{p \geq i} (-1)^{p-i} \mathrm{rg}_A(L_p)$ et par suite $\mathrm{rg}(d_i) + \mathrm{rg}(d_{i+1}) = \mathrm{rg}_A(L_i)$ pour tout $i \geq 1$.

g) Soient $i$ un entier $\geq 1$, et $p$ un idéal premier de $A$. Montrer que la condition $\mathrm{dp}_{A_p}(H_0(L_p)) \geq i$ équivaut à $\mathfrak{d}(d_i)A_p \neq A_p$, c’est-à-dire $\mathfrak{d}(d_i) \subset p$ (utiliser l’exerc. 8, a)). À l’aide de la prop. 8 du § 1, n° 5 et du th. 1, en déduire qu’on a $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(d_i); A) \geq i$, ce qui prouve l’implication (i) $\Rightarrow$ (ii).