Bài tập 9, § 3

Cho $A$ là một vành, $(L, d)$ là một phức bị chặn của các A-môđun tự do kiểu hữu hạn, bằng không trong các bậc < 0. Ta đề nghị chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) Ta có $H_i(L) = 0$ với $i > 0$ ; (ii) Ta có \operatorname{prof}_A(\partial(d_i); A) \geq i và $rg(d_i) + rg(d_{i+1}) = rg_A(L_i)$ với mọi $i \geq 1$. a) Chứng minh rằng chỉ cần chứng minh mệnh đề này khi vành $A$ là Noether (xét vành con của $A$ sinh bởi các hệ số của các ma trận $d_i$ với $i \geq 1$ ). Từ đây về sau ta giả sử điều kiện này được thỏa mãn. b) Nếu $A$ là một vành địa phương có chiều 0, chứng minh rằng (ii) suy ra (i) (dùng Bài tập 8, b)).

c) Giả sử rằng vành $A$ là địa phương, rằng điều kiện (ii) được thỏa mãn, và rằng $\mathrm{Supp}(H_i(L)) = \{ m_A \}$ với $i \geq 1$. Chứng minh rằng $H_i(L) = 0$ với $i \geq 0$ (gọi $p$ là số nguyên lớn nhất sao cho $\mathfrak{d}(d_p) \neq A$; suy ra từ Bài tập 8, b) rằng $H_i(L_i) = 0$ với $i > p$, sau đó từ Bài tập 8, a) và Hệ quả 2 của Mệnh đề 3 (No. 2) rằng phức $0 \to L_p/B_p(L) \to L_{p-1} \to \ldots \to L_0$ là khử chu kỳ trong các bậc $> 0$.

d) Chứng minh kéo theo (ii) $\Rightarrow$ (i) (rút gọn về trường hợp $A$ là địa phương, và lập luận bằng quy nạp theo $\dim(A)$).

e) Giả sử rằng phức $L$ là khử chu kỳ trong các bậc $> 0$. Gọi $p$ là một iđêan nguyên tố liên kết với $A$. Chứng minh rằng với mọi $i \geq 1$ ($\mathrm{Coker}\ d_i$)$_p$ là một A-môđun tự do, có hạng $\sum_{p \geq i-1} (-1)^p \mathrm{rg}_A(L_p)$; hơn nữa ta có $\mathrm{rg}((d_i)_p) = \sum_{p \geq i} (-1)^{p-i} \mathrm{rg}_A(L_p)$ và $\mathfrak{d}((d_i)_p) = A_p$ (Bài tập 8).

f) Suy ra rằng ta có $\mathrm{rg}(d_i) = \sum_{p \geq i} (-1)^{p-i} \mathrm{rg}_A(L_p)$ và do đó $\mathrm{rg}(d_i) + \mathrm{rg}(d_{i+1}) = \mathrm{rg}_A(L_i)$ với mọi $i \geq 1$.

g) Cho $i$ là một số nguyên $\geq 1$, và $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$. Chứng minh rằng điều kiện $\mathrm{dp}_{A_p}(H_0(L_p)) \geq i$ tương đương với $\mathfrak{d}(d_i)A_p \neq A_p$, nghĩa là $\mathfrak{d}(d_i) \subset p$ (dùng Bài tập 8, a)). Với sự trợ giúp của Mệnh đề 8 của § 1, No. 5 và Định lý 1, suy ra rằng ta có $\mathrm{prof}_A(\mathfrak{d}(d_i); A) \geq i$, điều này chứng minh kéo theo (i) $\Rightarrow$ (ii).