Exercice 12, § 4

Soient $A$ un anneau local régulier, $M$ un $A$-module de type fini, tel que le $A$-module $\mathrm{End}_A(M)$ soit libre. On se propose de prouver que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) le $A$-module $M$ est libre ; (ii) le $A$-module $M$ est réflexif ; (iii) $\mathrm{Ext}_A^1(M, M) = 0$. a) Prouver l’implication (iii) $\Rightarrow$ (ii) (utiliser l’exerc. 2 de VII, $§ 4$).

b) Prouver l’implication opposée (utiliser l’exerc. 4 si $\dim(A)\leq 2$, puis raisonner par récurrence sur $\dim(A)$ à l’aide de l’exerc. 18 du § 1).

c) On suppose $\dim(A)\leq 3$. Démontrer l’implication (ii) $\Rightarrow$ (i) (utiliser l’exerc. 4 si $\dim(A)\leq 2$ ; si $\dim(A)=3$, observer que (ii) implique $\operatorname{dp}_A(M)\leq 1$, puis que (iii) et la remarque 2 du no 3 entraînent que $M$ est projectif).

d) On suppose $M$ réflexif. Soit $x$ un élément de $\mathfrak m_A-\mathfrak m_A^2$ ; on note $B$ l’anneau $A/xA$, $N$ le $B$-module $M/xM$ et $N^*$ son dual. Prouver à l’aide de b) que le $B$-module $\operatorname{End}_B(N)$ est libre, puis que $\operatorname{End}_B(N^*)$ est libre (déduire de VII, § 4, no 2 que $\operatorname{End}_B(N^*)$ s’identifie au bidual de $\operatorname{End}_B(N)$).

e) Démontrer que (ii) implique (i) (raisonner par récurrence sur la dimension de $A$, supposée $\geq 4$ ; avec les notations de d), l’hypothèse de récurrence entraîne que le $B$-module $N^*$ est libre ; en déduire à l’aide de l’exerc. 18 du § 1 et de la prop. 7 du no 4 que l’on a $\operatorname{prof}_A(\operatorname{Ext}^1_A(M,B))\geq 1$, puis que $\operatorname{Ext}^1_A(M,A)$, qui est de longueur finie par l’hypothèse de récurrence, est nul ; conclure que le $B$-module $M^*/xM^*$ s’identifie à $N^*$, donc est libre, puis que le $A$-module $M^*$ est libre et finalement que $M$ est libre.)

f) Déduire de ces résultats une autre démonstration du fait que l’anneau $A$ est factoriel.

12) Soient $A$ un anneau, $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille d’éléments de $A$, engendrant un idéal $I$. On dit que la famille $(x_1,\ldots,x_n)$ est $A$-indépendante si les classes des $x_i$ dans $I/I^2$ forment une base de ce $A/I$-module.

a) Toute famille complètement sécante pour $A$ est $A$-indépendante.

b) Soit $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille $A$-indépendante, avec $x_1=x'_1x''_1$. Prouver que les familles $(x'_1,\ldots,x_n)$ et $(x''_1,\ldots,x_n)$ sont $A$-indépendantes, et que l’on a

(observer que le quotient $(x'_1,\ldots,x_n)/(x_1,\ldots,x_n)$ est isomorphe à $A/(x''_1,\ldots,x_n)$).