Bài tập 12, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương chính quy, $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, sao cho $A$-môđun $\mathrm{End}_A(M)$ là tự do. Ta đề nghị chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $A$-môđun $M$ là tự do ; (ii) $A$-môđun $M$ là phản xạ ; (iii) $\mathrm{Ext}_A^1(M, M) = 0$. a) Chứng minh kéo theo (iii) $\Rightarrow$ (ii) (dùng Bài tập 2 của VII, $§ 4$).

b) Chứng minh kéo theo đối (dùng Bài tập 4 nếu dim(A) $\leq 2$, sau đó lập luận bằng quy nạp theo dim(A) với sự trợ giúp của Bài tập 18 của § 1).

c) Giả sử rằng dim(A) $\leq 3$. Chứng minh kéo theo (ii) $\Rightarrow$ (i) (dùng Bài tập 4 nếu dim(A) $\leq 2$; nếu dim(A) = 3, nhận thấy rằng (ii) kéo theo dp_A(M) $\leq 1$, rồi (iii) và Nhận xét 2 của No. 3 kéo theo rằng M là xạ ảnh).

d) Giả sử rằng M là phản xạ. Cho x là một phần tử của $m_A - m_A^2$; ký hiệu B là vành $A/xA$, N là B-môđun $M/xM$ và $N^*$ là đối ngẫu của nó. Chứng minh với sự trợ giúp của b) rằng B-môđun End_B(N) là tự do, rồi rằng End_B(N*) là tự do (suy ra từ VII, § 4, No. 2 rằng End_B(N*) đồng nhất với đối đối ngẫu của End_B(N)).

e) Chứng minh rằng (ii) kéo theo (i) (lập luận bằng quy nạp theo chiều của A, giả sử $\geq 4$; với các ký hiệu của d), giả thiết quy nạp kéo theo rằng B-môđun N* là tự do ; suy ra với sự trợ giúp của Bài tập 18 của § 1 và Mệnh đề 7 của No. 4 rằng ta có prof_A(Ext^1_A(M, B)) $\geq 1$, rồi rằng Ext^1_A(M, A), vốn có độ dài hữu hạn theo giả thiết quy nạp, là không, kết luận rằng B-môđun $M^*/xM^*$ đồng nhất với N*, do đó là tự do, rồi rằng A-môđun M* là tự do và cuối cùng M là tự do.)

f) Suy ra từ các kết quả này một chứng minh khác của sự kiện rằng vành A là factorial.

12) Cho A là một vành, $(x_1, \ldots, x_n)$ là một họ các phần tử của A, sinh một iđêan I. Một họ $(x_1, \ldots, x_n)$ được gọi là A-độc lập nếu các lớp của $x_i$ trong $I/I^2$ lập thành một cơ sở của A/I-môđun này.

a) Mọi họ hoàn toàn ngang qua của A đều A-độc lập.

b) Cho $(x_1, \ldots, x_n)$ là một họ A-độc lập, với $x_1 = x'_1 x''_1$. Chứng minh rằng các họ $(x'_1, \ldots, x_n)$ và $(x''_1, \ldots, x_n)$ là A-độc lập, và rằng ta có

(nhận thấy rằng thương $(x'_1, \ldots, x_n)/(x_1, \ldots, x_n)$ đẳng cấu với $A/(x''_1, \ldots, x_n)$).