Exercice 4, § 4

Soit $A$ un anneau noethérien de dimension $\leqslant 2$. Montrer que pour que $A$ soit régulier, il faut et il suffit que le dual de tout $A$-module de type fini soit projectif (soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$; si la seconde condition est satisfaite, prouver d’abord que $A_{\mathfrak{p}}$ est régulier lorsque $\operatorname{prof}(A_{\mathfrak{p}}) \leqslant 1$, puis que $\mathrm{dp}_{A_{\mathfrak{p}}}(\kappa(\mathfrak{p})) = 2$ lorsque $\operatorname{prof}(A_{\mathfrak{p}}) = 2$).