Exercice 8, § 4

Soient $A$ un anneau local régulier, $x = (x_1, \ldots, x_d)$ un système de coordonnées de $A$, $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux injectif faisant de $B$ un $A$-module de type fini. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) pour tout entier $p$, l’élément $\rho(x_1 \ldots x_d)^p$ n’appartient pas à l’idéal de $B$ engendré par $\rho(x_1^{p+1}), \ldots, \rho(x_d^{p+1})$; (ii) le $A$-module $\rho(A)$ est facteur direct de $B$.

Ces conditions sont satisfaites si $A$ est une $\mathbf{Q}$-algèbre (exerc. 3 du § 2).

(Pour prouver (ii) $\Rightarrow$ (i), adapter la démonstration de loc. cit. Pour l’implication opposée, se ramener au cas où $A$ est complet, et poser pour $p \geqslant 0$ $A_p = A/(x_1^{p+1}, \ldots, x_d^{p+1})$ et $B_p = B/(x_1^{p+1}, \ldots, x_d^{p+1})B$. Observer que la classe de $(x_1 \ldots x_d)^p$ engendre le socle de $A_p$, et en déduire que l’homomorphisme $\rho_p : A_p \to B_p$ induit par $\rho$ est injectif. Prouver que $\rho_p$ admet une rétraction $A_p$-linéaire. Conclure à l’aide de E, III, p. 60, exemple II.)