Bài tập 8, § 4

Cho $A$ là một vành địa phương chính quy, $x = (x_1, \ldots, x_d)$ là một hệ tọa độ của $A$, $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành đơn ánh làm cho $B$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) với mọi số nguyên $p$, phần tử $\rho(x_1 \ldots x_d)^p$ không thuộc iđêan của $B$ sinh bởi $\rho(x_1^{p+1}), \ldots, \rho(x_d^{p+1})$; (ii) $A$-môđun $\rho(A)$ là một nhân tử trực tiếp của $B$.

Các điều kiện này được thỏa mãn nếu $A$ là một $\mathbf{Q}$-đại số (bài tập 3 của § 2).

(Để chứng minh (ii) $\Rightarrow$ (i), hãy thích nghi chứng minh của dẫn chứng trên. Đối với hàm ý ngược lại, rút gọn về trường hợp $A$ là đầy đủ, và đặt với $p \geqslant 0$ $A_p = A/(x_1^{p+1}, \ldots, x_d^{p+1})$ và $B_p = B/(x_1^{p+1}, \ldots, x_d^{p+1})B$. Nhận xét rằng lớp của $(x_1 \ldots x_d)^p$ sinh đế của $A_p$, và suy ra rằng đồng cấu $\rho_p : A_p \to B_p$ cảm sinh bởi $\rho$ là đơn ánh. Chứng minh rằng $\rho_p$ thừa nhận một phép rút lại $A_p$-tuyến tính. Kết luận nhờ E, III, p. 60, ví dụ II.)