Exercice 9, § 4

Soient $\rho : A \to B$ un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens, $N$ un $B$-module macaulayen de type fini. On suppose que l’anneau $A$ est régulier et qu’on a $\dim_B(N) = \dim(A) + \dim_{B/m_A B}(N/m_A N)$. Prouver que le $A$-module $N$ est plat (raisonner par récurrence sur $\dim(A)$; si $x \in m_A - m_A^2$, on montrera que $x$ est $N$-régulier et que l’homomorphisme $A/xA \to B/xB$ et le $(B/xB)$-module $N/xN$ satisfont aux mêmes hypothèses que $\rho$ et $N$.