Bài tập 9, § 4

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu địa phương của các vành địa phương Noether, $N$ là một $B$-môđun Macaulay hữu hạn kiểu. Giả sử rằng vành $A$ là chính quy và ta có $\dim_B(N) = \dim(A) + \dim_{B/m_A B}(N/m_A N)$. Chứng minh rằng $A$-môđun $N$ là phẳng (lập luận bằng quy nạp theo $\dim(A)$; nếu $x \in m_A - m_A^2$, ta sẽ chỉ ra rằng $x$ là $N$-chính quy và rằng đồng cấu $A/xA \to B/xB$ và $(B/xB)$-môđun $N/xN$ thỏa mãn cùng các giả thiết như $\rho$ và $N$.