Exercice 1, § 8

Soient A un anneau local noethérien, M un A-module. Montrer que pour que M soit artinien, il faut et il suffit que son socle S soit de dimension finie sur $\kappa_A$ et que M soit une extension essentielle de S (c’est-à-dire (A, II, p. 185, exerc. 15) que tout sous-module non nul de M contienne un élément non nul de S).