Exercice 2, § 8

Soient A un anneau noethérien local complet, M un A-module. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) l’homomorphisme canonique $\alpha_M : M \to D(D(M))$ est bijectif ; (ii) il existe une suite exacte $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$, où $M'$ est de type fini et $M''$ artinien.

(Si M satisfait (i), montrer que son socle est de dimension finie sur $\kappa_A$, et qu’il en est de même de tout quotient de M ; construire un sous-module de type fini N de M tel que $M/mN$ soit extension essentielle de son socle, et utiliser l’exerc. 1).