Bài tập 2, § 8

Cho $A$ là một vành địa phương đầy đủ Noether, $M$ là một $A$-môđun. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) đồng cấu chính tắc $\alpha_M : M \to D(D(M))$ là song ánh ; (ii) tồn tại một dãy khớp $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$, trong đó $M'$ là một môđun hữu hạn sinh và $M''$ là Artin.

(Nếu $M$ thỏa mãn (i), hãy chứng minh rằng đế của nó có số chiều hữu hạn trên $\kappa_A$, và điều tương tự cũng đúng đối với mọi môđun thương của $M$ ; xây dựng một môđun con hữu hạn sinh $N$ của $M$ sao cho $M/mN$ là mở rộng cốt yếu của đế của nó, và sử dụng Bài tập 1).