Exercice 4, § 8

Soient $A$ un anneau noethérien, $M$ un $A$-module de type fini. Pour tout $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A)$, on pose $\mu^i(\mathfrak{p}, M) = \dim_{k(\mathfrak{p})} \mathrm{Ext}^i_{A_{\mathfrak{p}}}(k(\mathfrak{p}), M_{\mathfrak{p}})$ ; on note $(I(\mathfrak{p}), e_{\mathfrak{p}})$ une enveloppe injective du $A$-module $A/\mathfrak{p}$. Soit $I$ une résolution injective minimale de $M$ (ce qui signifie que $I^n$ est une enveloppe injective de $Z^n(I)$ pour tout $n \geqslant 0$, cf. A, X, p. 182, exerc. 13). Prouver que le $A$-module $I^p$ est isomorphe à $\bigoplus_{\mathfrak{p}} I(\mathfrak{p})^{\mu^p(\mathfrak{p}, M)}$.