Exercice 5, § 8

Soient $A$ un anneau local noethérien, $I$ un $A$-module de Matlis. Pour tout $A$-module $M$ on note $D(M)$ le dual de Matlis $\mathrm{Hom}_A(M, I)$. On rappelle qu’on note $\mathrm{dpl}_A(M)$ la borne inférieure des longueurs des résolutions plates de $M$ (A, X, p. 202, exerc. 7). Prouver les égalités $\mathrm{di}_A(D(M)) = \mathrm{dpl}_A(M)$ , $\mathrm{di}_A(M) = \mathrm{dpl}_A(D(M))$.