Exercice 8, § 8

Soit $A$ un anneau local noethérien.

a) Soient $M$ et $N$ des $A$-modules tels que $\mathrm{dpl}_A(M) < +\infty$ et $\mathrm{Tor}_i^A(M, N) = 0$ pour $i > 0$. Définir pour tout entier $n$ un isomorphisme canonique

et prouver qu’on a $\mathrm{di}_A(M \otimes_A N) \leqslant \mathrm{di}_A(N)$ (adapter la démonstration de l’exerc. 6 du § 3 à l’aide de l’exerc. 7).

b) Soient $N$, $P$ des $A$-modules tels que $\mathrm{di}_A(P) < +\infty$ et $\mathrm{Ext}_A^i(N, P) = 0$ pour $i > 0$. Définir pour tout entier $n$ un isomorphisme canonique

(appliquer la dualité de Matlis).

c) Prouver que s’il existe un $A$-module $M$ dont la dimension injective et la dimension plate sont finies, $A$ est un anneau de Gorenstein (prendre $N = A$ dans a)).

d) Inversement, si $A$ est un anneau de Gorenstein, démontrer qu’il y a identité entre modules de dimension injective finie et modules de dimension plate finie (prouver à l’aide de $a$) qu’un module de dimension plate finie est de dimension injective finie, et obtenir la réciproque par dualité de Matlis).

e) Déduire de $d$ que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $A$ est un anneau de Gorenstein ; (ii) les $A$-modules de type fini et de dimension injective finie coïncident avec les $A$-modules de type fini et de dimension projective finie ; (iii) il existe un $A$-module de type fini dont la dimension injective et la dimension projective sont finies.