Bài tập 8, § 8

Cho $A$ là một vành địa phương Noether.

a) Cho $M$ và $N$ là các $A$-môđun sao cho $\mathrm{dpl}_A(M) < +\infty$ và $\mathrm{Tor}_i^A(M, N) = 0$ với $i > 0$. Định nghĩa với mỗi số nguyên $n$ một đẳng cấu chính tắc

và chứng minh rằng ta có $\mathrm{di}_A(M \otimes_A N) \leqslant \mathrm{di}_A(N)$ (điều chỉnh chứng minh của Bài tập 6 của § 3 với sự trợ giúp của Bài tập 7).

b) Cho $N$, $P$ là các $A$-môđun sao cho $\mathrm{di}_A(P) < +\infty$ và $\mathrm{Ext}_A^i(N, P) = 0$ với $i > 0$. Định nghĩa với mỗi số nguyên $n$ một đẳng cấu chính tắc

(áp dụng đối ngẫu Matlis).

c) Chứng minh rằng nếu tồn tại một $A$-môđun $M$ có chiều đơn ánh và chiều phẳng hữu hạn, thì $A$ là một vành Gorenstein (lấy $N = A$ trong a)).

d) Đảo lại, nếu $A$ là một vành Gorenstein, chứng minh rằng có một đẳng thức giữa các môđun có chiều đơn ánh hữu hạn và các môđun có chiều phẳng hữu hạn (dùng sự trợ giúp của a) để chứng minh rằng một môđun có chiều phẳng hữu hạn có chiều đơn ánh hữu hạn, và thu được đảo lại bằng đối ngẫu Matlis).

e) Suy ra từ $d$ rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $A$ là một vành Gorenstein ; (ii) các $A$-môđun kiểu hữu hạn và có chiều đơn ánh hữu hạn trùng với các $A$-môđun kiểu hữu hạn và có chiều xạ ảnh hữu hạn ; (iii) tồn tại một $A$-môđun kiểu hữu hạn có chiều đơn ánh và chiều xạ ảnh hữu hạn.