Exercice 9, § 8

Soit $A$ un anneau local noethérien satisfaisant la condition (GM) ($§ 3$, exerc. 13). a) Soit $I$ un complexe de $A$-modules injectifs, de longueur $\ell$, dont l’homologie est non nulle et de type fini. Prouver l’inégalité $\ell \geq \dim(A)$ (se ramener à loc. cit. a) par dualité de Matlis). b) S’il existe un $A$-module $M$ de type fini et de dimension injective finie, $A$ est un anneau de Macaulay (appliquer $a$) à une résolution injective de $M$. c) Pour que $A$ soit un anneau de Gorenstein, il faut et il suffit qu’il possède un module monogène de dimension injective finie (utiliser l’exerc. 8, $b$).