Bài tập 9, § 8

Cho $A$ là một vành địa phương Noether thỏa mãn điều kiện (GM) ($§ 3$, Bài tập 13). a) Cho $I$ là một phức các $A$-môđun đơn ánh, có độ dài $\ell$, có đồng điều khác không và có kiểu hữu hạn. Chứng minh bất đẳng thức $\ell \geq \dim(A)$ (rút gọn về loc. cit. a) bằng đối ngẫu Matlis). b) Nếu tồn tại một $A$-môđun có kiểu hữu hạn và có chiều đơn ánh hữu hạn, thì $A$ là một vành Macaulay (áp dụng $a$) cho một giải nội xạ của $M$). c) Để $A$ là một vành Gorenstein, điều kiện cần và đủ là nó có một môđun đơn sinh có chiều đơn ánh hữu hạn (dùng Bài tập 8, $b$).