Exercice 1, § 9

Soit $A$ un anneau de Macaulay local. a) On suppose que $A$ admet un module dualisant $\Omega$ ; on munit le $A$-module $A \oplus \Omega$ de la structure de $A$-algèbre pour laquelle $\Omega$ est un idéal de carré nul. Prouver que $A \oplus \Omega$ est un anneau de Gorenstein (en utilisant une suite sécante maximale, se ramener au cas où $A$ est artinien ; observer que le socle de $A \oplus \Omega$ s’identifie à celui du $A$-module $\Omega$). b) En déduire que pour que $A$ admette un module dualisant, il faut et il suffit qu’il existe un anneau de Gorenstein $B$ et un homomorphisme surjectif de $B$ dans $A$.