Exercice 11, § 9

Soit $A$ un anneau noethérien.

a) On suppose $A$ local. Soient $P, Q$ des $A$-complexes bornés et plats. On suppose que $H(P \otimes_A Q)$ est nul en degré $\neq 0$, et libre de rang 1 en degré 0. Démontrer qu’il existe un entier $p \in \mathbf{Z}$ et des homologismes $A \to P(p)$ et $A \to Q(-p)$.

(À l’aide du lemme 1 et de la prop. 1 de A, X, p. 66 et 62, se ramener au cas où $P$ et $Q$ sont nuls à droite ; à l’aide de la prop. 1 de loc. cit. et du th. 3 de II, § 5, n° 4, construire alors des complexes $P'$ et $Q'$ tels que $P = A \oplus P'$ et $Q = A \oplus Q'$, et prouver qu’on a $H(P') = H(Q') = 0 .$)

b) Soient $I, J$ des $A$-complexes dualisants (exerc. 10). Si $A$ est local, prouver qu’il existe un entier $n$ et un homologisme de $J$ sur $I(n)$ (soient $P = \mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(I, J) , Q = \mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(J, I)$ ; en utilisant le morphisme $\nu$ du n° 7 et l’homologisme $\alpha_J : J \to \mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(Q, I)$ relatif au complexe dualisant $I$, construire un homologisme $P \otimes_A Q \to A$, et appliquer a)).

c) Dans le cas général, prouver qu’il existe un entier $n$, un $A$-module $L$ projectif de rang 1, et un homologisme de $J$ sur $I \otimes_A L(n)$ (poser $L = H(\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(I, J))$, et appliquer b)).