Bài tập 11, § 9

Cho $A$ là một vành Noether.

a) Giả sử rằng $A$ là địa phương. Cho $P, Q$ là các phức $A$-phẳng bị chặn. Giả sử rằng $H(P \otimes_A Q)$ là không ở bậc $\neq 0$, và tự do hạng 1 ở bậc 0. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $p \in \mathbf{Z}$ và các cấu xạ $A \to P(p)$ và $A \to Q(-p)$.

(Bằng cách sử dụng bổ đề 1 và mệnh đề 1 của A, X, tr. 66 và 62, rút gọn về trường hợp $P$ và $Q$ là không ở bên phải; bằng cách sử dụng mệnh đề 1 của loc. cit. và Định lý 3 của II, § 5, No. 4, khi đó xây dựng các phức $P'$ và $Q'$ sao cho $P = A \oplus P'$ và $Q = A \oplus Q'$, và chứng minh rằng ta có $H(P') = H(Q') = 0 .$)

b) Cho $I, J$ là các phức $A$-đối ngẫu hóa (Bài tập 10). Nếu $A$ là địa phương, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $n$ và một cấu xạ từ $J$ lên $I(n)$ (đặt $P = \mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(I, J) , Q = \mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(J, I)$; sử dụng cấu xạ $\nu$ của No. 7 và cấu xạ $\alpha_J : J \to \mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(Q, I)$ tương ứng với phức đối ngẫu hóa $I$, xây dựng một cấu xạ $P \otimes_A Q \to A$, và áp dụng a)).

c) Trong trường hợp tổng quát, chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $n$, một $A$-môđun $L$ xạ ảnh hạng 1, và một cấu xạ từ $J$ lên $I \otimes_A L(n)$ (đặt $L = H(\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(I, J))$, và áp dụng b)).