Exercice 12, § 9

Soient $k$ un corps, $R$ une $k$-algèbre graduée de type $N$, telle que $R_0 = k$ et que $R$ soit un anneau de Macaulay, de dimension $d$. Pour tout $R$-module gradué de type fini $M$, on note $P_M(T)$ la série de Poincaré $\sum_i (\dim_k M_i) T^i$, et l’on pose

c’est un élément de $\mathbf{Z}[T, T^{-1}]$ (VIII, § 6, n° 3, prop. 5).

a) Soit $\Omega$ un $R$-module dualisant ; prouver que $\Omega$ admet une structure de $R$-module gradué pour laquelle $Q_{\Omega}(T) = (-1)^d Q_R(T^{-1})$ (écrire $R$ comme quotient d’une algèbre de polynômes $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, avec $\deg(X_i) = d_i$ ; si $L$ est une résolution graduée libre du $A$-module $R$, observer que le complexe $\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(L, A)(-d)$ en définit une de $\Omega$, et utiliser l’exemple 3 de VIII, § 4, n° 2).

b) On suppose que $R$ est un anneau de Gorenstein ; prouver qu’il existe un entier $a \in \mathbf{Z}$ satisfaisant à $Q_R(T^{-1}) = (-1)^d T^a Q_R(T)$.

c) On suppose que $R$ est intègre et qu’il existe un entier $a \in \mathbf{Z}$ tel qu’on ait $Q_R(T^{-1}) = (-1)^d T^a Q_R(T)$. Prouver que $R$ est un anneau de Gorenstein (munir $\Omega$ d’une graduation pour laquelle $Q_{\Omega} = Q_R$, et prouver qu’un élément non nul de $\Omega_0$ forme une base de $\Omega$).

d) Soit $R$ la $k$-algèbre graduée $k[X, Y]/(X^3, XY, Y^2)$ ; prouver qu’on a $Q_R(T^{-1}) = T^{-2} Q_R(T)$, mais que $R$ n’est pas un anneau de Gorenstein.