Bài tập 12, § 9

Cho $k$ là một trường, $R$ là một đại số $k$ phân bậc kiểu $N$, sao cho $R_0 = k$ và $R$ là một vành Macaulay, có chiều $d$. Với mọi $R$-môđun phân bậc kiểu hữu hạn $M$, ký hiệu $P_M(T)$ là chuỗi Poincaré $\sum_i (\dim_k M_i) T^i$, và đặt

nó là một phần tử của $\mathbf{Z}[T, T^{-1}]$ (VIII, § 6, No. 3, Mệnh đề 5).

(a) Cho $\Omega$ là một $R$-môđun đối ngẫu hóa; hãy chứng minh rằng $\Omega$ thừa nhận một cấu trúc $R$-môđun phân bậc sao cho $Q_{\Omega}(T) = (-1)^d Q_R(T^{-1})$ (viết $R$ như một thương của một đại số đa thức $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, với $\deg(X_i) = d_i$; nếu $L$ là một phân giải tự do phân bậc của $A$-môđun $R$, hãy nhận xét rằng phức $\mathrm{Hom}_{\mathbf{A}}(L, A)(-d)$ xác định một phức của $\Omega$, và sử dụng Ví dụ 3 của VIII, § 4, No. 2).

(b) Giả sử rằng $R$ là một vành Gorenstein; hãy chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $a \in \mathbf{Z}$ thỏa mãn $Q_R(T^{-1}) = (-1)^d T^a Q_R(T)$.

(c) Giả sử rằng $R$ là nguyên và tồn tại một số nguyên $a \in \mathbf{Z}$ sao cho có $Q_R(T^{-1}) = (-1)^d T^a Q_R(T)$. Hãy chứng minh rằng $R$ là một vành Gorenstein (trang bị cho $\Omega$ một phân bậc sao cho $Q_{\Omega} = Q_R$, và chứng minh rằng một phần tử khác không của $\Omega_0$ tạo thành một cơ sở của $\Omega$).

(d) Cho $R$ là đại số $k$ phân bậc $k[X, Y]/(X^3, XY, Y^2)$; hãy chứng minh rằng có $Q_R(T^{-1}) = T^{-2} Q_R(T)$, nhưng $R$ không phải là một vành Gorenstein.