Exercice 3, § 9

Soit $A$ un anneau admettant un module dualisant $\Omega$.

a) Pour que $\Omega$ soit isomorphe à un idéal $I$ de $A$, il faut et il suffit que $A_p$ soit un anneau de Gorenstein pour tout idéal premier minimal $p$ de $A$ (observer que $\Omega$ est isomorphe à un sous-module de $\bigoplus_p \Omega_p$).

b) Lorsque ces conditions sont satisfaites, prouver que $I$ est égal à $A$ ou de hauteur 1, et que $A/I$ est un anneau de Gorenstein (calculer la profondeur de $A/I$, puis le $A/I$-module $\mathrm{Ext}_A^1(A/I, I)$).

c) Démontrer qu’un anneau factoriel admettant un module dualisant est un anneau de Gorenstein.