Bài tập 3, § 9

Cho $A$ là một vành có một môđun đối ngẫu hóa $\Omega$.

a) Để $\Omega$ đẳng cấu với một iđêan $I$ của $A$, điều kiện cần và đủ là $A_p$ là một vành Gorenstein với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu $p$ của $A$ (nhận xét rằng $\Omega$ đẳng cấu với một môđun con của $\bigoplus_p \Omega_p$).

b) Khi các điều kiện này được thỏa mãn, hãy chứng minh rằng $I$ bằng $A$ hoặc có độ cao 1, và rằng $A/I$ là một vành Gorenstein (tính độ sâu của $A/I$, rồi môđun $A/I$- $\mathrm{Ext}_A^1(A/I, I)$).

c) Chứng minh rằng một vành nhân tử có một môđun đối ngẫu hóa là một vành Gorenstein.