Exercice 4, § 9

Soit $A$ un anneau de Macaulay local de dimension $d$; soit $\Omega$ un $A$-module de type fini, de dimension injective finie, de profondeur $d$, tel que l’homomorphisme canonique $A \to \mathrm{End}_A(\Omega)$ soit bijectif. Prouver que le $A$-module $\Omega$ est dualisant (raisonner par récurrence sur $d$, en déduisant de l’exerc. 7 du § 3 que pour tout élément $\Omega$-régulier $x$ de $m_A$, l’homomorphisme canonique $A/xA \to \mathrm{End}_{A/xA}(\Omega/x\Omega)$ est bijectif).