Exercice 5, § 9

Soit $A$ un anneau local noethérien, admettant un module dualisant $\Omega$. Soit $T$ un $A$-module de type fini, de dimension injective finie.

a) Prouver que $\mathrm{Ext}_A^i(\Omega, T)$ est nul pour $i > 0$ (utiliser l’exerc. 7 du § 3).

b) Prouver que l’homomorphisme canonique $\Omega \otimes_A \mathrm{Hom}_A(\Omega, T) \to T$ est bijectif (appliquer a) et l’exerc. 10 du § 8).

c) Démontrer à l’aide de l’exerc. 8, b) du § 8 les égalités $\mathrm{dp}_A(\mathrm{Hom}_A(\Omega, T)) = \dim(A) - \mathrm{prof}(T)$ et $\mathrm{prof}(\mathrm{Hom}_A(\Omega, T)) = \mathrm{prof}(T)$. En déduire que si $\mathrm{prof}(T) = \dim(A)$, le $A$-module $T$ est somme directe de modules isomorphes à $\Omega$.

d) On pose $c = \dim(A) - \mathrm{prof}(T)$. Prouver qu’il existe des entiers $n_0, \ldots, n_c$ et une suite exacte

(raisonner par récurrence sur $c$, en construisant à l’aide de b) un homomorphisme surjectif $\Omega^{n_0} \to T$).