Bài tập 5, § 9

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, thừa nhận một môđun đối ngẫu $\Omega$. Cho $T$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, có chiều đơn ánh hữu hạn.

a) Chứng minh rằng $\mathrm{Ext}_A^i(\Omega, T)$ là không với $i > 0$ (dùng Bài tập 7 của § 3).

b) Chứng minh rằng đồng cấu chính tắc $\Omega \otimes_A \mathrm{Hom}_A(\Omega, T) \to T$ là song ánh (áp dụng a) và Bài tập 10 của § 8).

c) Chứng minh, với sự trợ giúp của Bài tập 8, b) của § 8, các đẳng thức $\mathrm{dp}_A(\mathrm{Hom}_A(\Omega, T)) = \dim(A) - \mathrm{prof}(T)$ và $\mathrm{prof}(\mathrm{Hom}_A(\Omega, T)) = \mathrm{prof}(T)$. Suy ra rằng nếu $\mathrm{prof}(T) = \dim(A)$, thì $A$-môđun $T$ là một tổng trực tiếp của các môđun đẳng cấu với $\Omega$.

d) Đặt $c = \dim(A) - \mathrm{prof}(T)$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $n_0, \ldots, n_c$ và một dãy khớp

(lập luận bằng quy nạp theo $c$, xây dựng nhờ b) một đồng cấu toàn ánh $\Omega^{n_0} \to T$).