Exercice 7, § 9

Soient $A$ un anneau local macaulayen, et $M$ un $A$-module de type fini macaulayen. On note $r(M)$ (resp. $t(M)$) la dimension du $\kappa_A$-espace vectoriel $\kappa_A \otimes_A M$ (resp. $\mathrm{Ext}_A^p(\kappa_A, M)$), avec $p = \mathrm{prof}(M)$), cf. exerc. 16 du § 1.

a) On suppose que $A$ possède un module dualisant $\Omega$; on pose $M' = \mathrm{Ext}_A^c(M, \Omega)$, avec $c = \dim(A) - \dim_A(M)$. Prouver les égalités $r(M') = t(M)$ et $t(M') = r(M)$ (se ramener à l’aide de la prop. 7 du § 3 au cas $c = 0$, puis en passant au quotient par une suite sécante maximale au cas où $A$ est artinien, et utiliser la prop. 6 du § 8).

b) En déduire qu’on a $t(M_p) \leq t(M)$ pour tout $p \in \mathrm{Spec}(A)$ (se ramener à l’aide des exerc. 2 du § 2 et 16 du § 1 au cas où $A$ est complet, et appliquer $a$).

c) Pour que le module $M$ soit dualisant, il faut et il suffit qu’il soit fidèle et qu’on ait $t(M) = 1$ (se ramener au cas où $A$ est complet ; appliquer $a$) et le cor. du th. 1).