Bài tập 7, § 9

Cho $A$ là một vành địa phương Macaulay, và cho $M$ là một môđun $A$-sinh hữu hạn Macaulay. Ta ký hiệu bởi $r(M)$ (tương ứng $t(M)$) chiều của không gian vectơ $\kappa_A$-trên $\kappa_A \otimes_A M$ (tương ứng $\mathrm{Ext}_A^p(\kappa_A, M)$), với $p = \mathrm{prof}(M)$), xem Bài tập 16 của § 1.

a) Giả sử rằng $A$ có một môđun đối ngẫu hóa $\Omega$; đặt $M' = \mathrm{Ext}_A^c(M, \Omega)$, với $c = \dim(A) - \dim_A(M)$. Chứng minh các đẳng thức $r(M') = t(M)$ và $t(M') = r(M)$ (rút gọn, nhờ Mệnh đề 7 của § 3, về trường hợp $c = 0$, rồi, bằng cách chuyển qua thương bởi một dãy chính quy cực đại, về trường hợp $A$ là Artin, và sử dụng Mệnh đề 6 của § 8).

b) Suy ra rằng ta có $t(M_p) \leq t(M)$ với mọi $p \in \mathrm{Spec}(A)$ (rút gọn, nhờ Bài tập 2 của § 2 và 16 của § 1, về trường hợp $A$ đầy đủ, và áp dụng $a$).

c) Để môđun $M$ là đối ngẫu hóa, điều kiện cần và đủ là nó trung thành và ta có $t(M) = 1$ (rút gọn về trường hợp $A$ đầy đủ; áp dụng $a$) và hệ quả của định lý 1).