Exercice 9, § 9

Soit $\Gamma$ un sous-monoïde du monoïde additif $\mathbf{N}$, tel que $\mathbf{N} - \Gamma$ soit fini ; on note $c$ le plus petit entier tel que $\Gamma$ contienne tous les entiers $\geq c$. Soient $k$ un corps, $B$ l’anneau $k[[T]]$, $K = k((\Gamma))$ son corps des fractions, et $A$ la sous-$k$-algèbre de $B$ engendrée par les éléments $T^\gamma$ pour $\gamma \in \Gamma$.

a) Prouver que $A$ est un anneau local intègre noethérien de dimension 1, dont le corps des fractions est $K$ et la clôture intégrale $B$; l’idéal $c = A : B$ est égal à $BT^c$.

b) Pour que $A$ soit un anneau de Gorenstein, il faut et il suffit que l’on ait $c = 2 \mathrm{Card}(\mathbf{N} - \Gamma)$.

c) Soit $\Omega$ le sous-$A$-module de $K$ engendré par les éléments $T^{-\alpha}$ pour $\alpha \notin \Gamma$. Prouver que $K/\Omega$ est un $A$-module de Matlis (utiliser la prop. 2 du § 8), et que $\Omega$ est un $A$-module dualisant.