Bài tập 9, § 9

Cho $\Gamma$ là một monoid con của monoid cộng tính $\mathbf{N}$, sao cho $\mathbf{N} - \Gamma$ là hữu hạn; ký hiệu $c$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $\Gamma$ chứa mọi số nguyên $\geq c$. Cho $k$ là một trường, $B$ là vành $k[[T]]$, $K = k((\Gamma))$ là trường phân thức của nó, và $A$ là đại số con-$k$ của $B$ sinh bởi các phần tử $T^\gamma$ với $\gamma \in \Gamma$.

a) Chứng minh rằng $A$ là một vành địa phương Noether nguyên có chiều 1, có trường phân thức là $K$ và có bao đóng nguyên là $B$; iđêan $c = A : B$ bằng $BT^c$.

b) Để $A$ là một vành Gorenstein, điều kiện cần và đủ là có $c = 2 \mathrm{Card}(\mathbf{N} - \Gamma)$.

c) Cho $\Omega$ là môđun con-$A$ của $K$ sinh bởi các phần tử $T^{-\alpha}$ với $\alpha \notin \Gamma$. Chứng minh rằng $K/\Omega$ là một môđun $A$ Matlis (dùng mệnh đề 2 của § 8), và rằng $\Omega$ là một môđun đối ngẫu hóa $A$.