Exercice 11, § 2

On dit que E est un semi-groupe à gauche si tout élément $x$ de E est simplifiable à gauche. a) Si $u$ est un idempotent (I, p. 7), on a $ux = x$ pour tout $x \in E$ (utiliser l’exerc. 9a)); $u$ est élément neutre pour la loi induite sur $Eu$. b) Si $u$ et $v$ sont deux idempotents distincts de E, on a $Eu \cap Ev = \varnothing$, et les ensembles $Eu$ et $Ev$ (munis des lois induites par celle de E) sont isomorphes. c) Soit R le complémentaire de la réunion des ensembles $Eu$, où $u$ parcourt l’ensemble des idempotents de E. Montrer que $ER \subset R$; il en résulte que R est une partie stable de E. Si R n’est pas vide, on a $aR \neq R$ pour tout $a \in R$ (utiliser l’exerc. 9a) pour prouver que, dans le cas contraire, R contiendrait un idempotent); en particulier R est alors infini. On dit que R est le résidu du semi-groupe à gauche E. d) Si R n’est pas vide, et s’il existe au moins un idempotent $u$ dans E (c’est-à-dire si $E \neq R$), pour tout $x \in REu$, on a $xEu \neq Eu$; en particulier, aucun élément de $REu$ n’est inversible dans $Eu$, et $REu$ est un ensemble infini (utiliser l’exerc. 8). e) Si E possède un élément neutre $e$, $e$ est le seul idempotent de E, et R est vide (remarquer que $E = Ee$). f) S’il existe un élément $a$ de E simplifiable à droite (en particulier si la loi donnée sur E est commutative), ou bien E possède un élément neutre, ou bien $E = R$ (remarquer que s’il existe un idempotent $u$, on a $xa = xua$ pour tout $x \in E$). Par exemple, si E est l’ensemble des entiers $\geq 1$, muni de l’addition, E est un semi-groupe commutatif tel que $E = R$. g) S’il existe $a \in E$ tel que $\delta_a$ soit surjective, ou bien E possède un élément neutre, ou bien $E = R$ (examiner séparément le cas où $a \in R$ et le cas où $a \in Eu$, pour un idempotent $u$).