Bài tập 11, § 2

E được gọi là một nửa nhóm trái nếu mọi phần tử $x$ của E đều giản ước được bên trái.

(a) Nếu $u$ là một phần tử lũy đẳng ($§ 1$, no. 4), thì $ux = x$ với mọi $x \in E$ (dùng Bài tập 9(a)); $u$ là phần tử đơn vị đối với luật cảm sinh trên $Eu$.

(b) Nếu $u$ và $v$ là hai phần tử lũy đẳng phân biệt của E, thì $Eu \cap Ev = \varnothing$ và các tập hợp $Eu$ và $Ev$ (với các luật được cảm sinh bởi luật trên E) là đẳng cấu.

(c) Gọi R là phần bù của hợp các tập hợp $Eu$, khi $u$ chạy qua tập hợp các phần tử lũy đẳng của E. Chứng minh rằng $ER \subset R$; suy ra R là một tập con ổn định của E. Nếu R khác rỗng, thì $aR \neq R$ với mọi $a \in R$ (dùng Bài tập 9(a) để chứng minh rằng, trong trường hợp ngược lại, R sẽ chứa một phần tử lũy đẳng); đặc biệt, khi đó R là vô hạn. R được gọi là thặng dư của nửa nhóm trái E.

(d) Nếu R khác rỗng và tồn tại ít nhất một phần tử lũy đẳng $u$ trong E (nghĩa là $E \neq R$), thì với mọi $x \in REu, xEu \neq Eu$; đặc biệt, không phần tử nào của $REu$ là khả nghịch trong $Eu$ và $REu$ là một tập vô hạn (dùng Bài tập 8).

(e) Nếu E có một phần tử đơn vị $e$, thì $e$ là phần tử lũy đẳng duy nhất trong E và R rỗng (chú ý rằng $E = Ee$).

(f) Nếu tồn tại một phần tử giản ước được bên phải $a$ trong E (đặc biệt nếu luật đã cho trên E là giao hoán), thì hoặc E có một phần tử đơn vị hoặc $E = R$ (chú ý rằng nếu tồn tại một phần tử lũy đẳng $u$, thì $xa = xua$ với mọi $x \in E$). Ví dụ, nếu E là tập hợp các số nguyên $\geq 1$, với phép cộng, thì E là một nửa nhóm giao hoán sao cho $E = R$.

(g) Nếu tồn tại $a \in E$ sao cho $\delta_a$ là toàn ánh, thì hoặc E có một phần tử đơn vị hoặc $E = R$ (xét riêng trường hợp $a \in R$ và trường hợp $a \in Eu$ với một phần tử lũy đẳng $u$).