Exercice 5, § 2

Pour $2 \leqslant n \leqslant 5$, déterminer, sur un ensemble E à $n$ éléments, toutes les lois partout définies, admettant un élément neutre et pour lesquelles tous les éléments de E soient simplifiables; pour $n = 5$, montrer qu’il existe des lois non associatives satisfaisant à ces conditions.

(N.B. — Les exercices 6 à 17 inclus se rapportent à des lois associatives sur un ensemble E, notées multiplicativement; e désigne l’élément neutre, lorsqu’il existe, $\gamma_a$ et $\delta_a$ les translations par $a \in E$; pour toute partie X de E, on posera $\gamma_a(X) = aX, \delta_a(X) = Xa.$)