Exercice 7, § 2

Etant donnés une loi associative sur un ensemble E et un élément $x \in E$, soit A l’ensemble des $x^n$ pour $n \in \mathbf{N}^*$; s’il existe un élément neutre, soit B l’ensemble des $x^n$ pour $n \in \mathbf{N}$; si de plus $x$ est inversible, soit C l’ensemble des $x^a$ pour $a \in \mathbf{Z}$. Montrer que, si A (resp. B, C) est infini, il est isomorphe (pour la loi induite par la loi donnée sur E) à $\mathbf{N}^*$ (resp. $\mathbf{N}, \mathbf{Z}$) muni de l’addition.