Exercice 10, § 3

Soit E un monoïde commutatif dont la loi est notée additivement et l’élément neutre 0. Soit T une loi interne sur E, distributive par rapport à l’addition, et telle que 0 T x = x T 0 = 0 pour tout x ∈ E. Soit S une partie de E stable pour l’addition et pour chacune des actions déduites de T; notons \overline{E} le monoïde des différences de E par rapport à S pour l’addition et ε l’homomorphisme canonique de E dans \overline{E}. Alors, il existe sur \overline{E} une loi \overline{T} et une seule qui soit distributive par rapport à l’addition et telle que ε soit un homomorphisme pour les lois T et \overline{T}. Si la loi T est associative (resp. commutative), il en est de même de la loi \overline{T}.