Exercice 5, § 3

Sur un ensemble $E$, on suppose données trois lois de composition: une addition (non nécessairement associative ni commutative), une multiplication (non nécessairement associative) et une loi notée $\top$. On suppose que la multiplication possède un élément neutre $e$, que la loi $\top$ est distributive à droite par rapport à la multiplication, et la loi $\top$ distributive à gauche par rapport à l’addition. Montrer que, s’il existe $x, y, z$ tels que $x \top z, y \top z$ et $(x + y) \top z$ soient simplifiables pour la multiplication, on a $e + e = e$ (utiliser l’exercice 3a)).