Exercice 6, § 3

On dit qu’une loi de composition $\top$ sur $E$ détermine sur $E$ une structure de quasi-groupe, si pour tout $x \in E$, les translations à gauche et à droite $\gamma_x$ et $\delta_x$ sont des applications bijectives de $E$ sur lui-même. Un quasi-groupe est dit distributif si la loi $\top$ est doublement distributive par rapport à elle-même. a) Déterminer toutes les structures de quasi-groupe distributif sur un ensemble de $n$ éléments, pour $2 \leq n \leq 6$. b) \* Montrer que l’ensemble $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels, muni de la loi de composition $(x, y) \mapsto \frac{1}{2}(x + y)$, est un quasi-groupe distributif.* c) Dans un quasi-groupe distributif $E$, tout élément est idempotent. En déduire que, si $E$ a plus d’un élément, la loi $\top$ ne peut posséder d’élément neutre ni être associative. d) Les translations à gauche et à droite dans un quasi-groupe distributif $E$ sont des automorphismes de $E$. e) Si $E$ est un quasi-groupe distributif fini, la structure induite sur toute partie stable de $E$ est une structure de quasi-groupe distributif. f) Soit $E$ un quasi-groupe distributif. Si $R$ est une relation d’équivalence compatible à gauche (resp. à droite) (I, p. 26) avec la loi $\top$, les classes mod. $R$ sont des parties stables de $E$. Si $E$ est fini, toutes ces classes se déduisent de l’une d’elles par translation à gauche (resp. à droite);

dans les mêmes conditions, si R est compatible avec la loi T, la structure quotient sur E/R est une structure de quasi-groupe distributif. g) Soit E un quasi-groupe distributif. L’ensemble A_a des éléments de E permutables avec un élément donné a est stable; si E est fini, pour tout x ∈ A_a, on a A_x = A_a (remarquer, en utilisant e), qu’il existe y ∈ A_a tel que x = a T y), et lorsque x parcourt E, les ensembles A_x sont identiques aux classes d’équivalence suivant une relation compatible avec la loi T. h) Si E est un quasi-groupe distributif fini, et la loi T commutative, le nombre d’éléments de E est impair (considérer les couples (x, y) d’éléments de E tels que x T y = y T x = a, où a est donné).