Bài tập 6, § 3

Một luật hợp thành trong $\top$ trên $E$ được gọi là xác định trên $E$ một cấu trúc quasi-nhóm nếu, với mọi $x \in E$, các phép tịnh tiến trái và phải $\gamma_x$ và $\delta_x$ là các ánh xạ song ánh của $E$ lên chính nó. Một quasi-nhóm được gọi là phân phối nếu luật $\top$ phân phối hai phía đối với chính nó.

(a) Xác định tất cả các cấu trúc quasi-nhóm phân phối trên một tập hợp gồm $n$ phần tử với $2 \leq n \leq 6$.

(b) Chứng minh rằng tập hợp $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ, với luật hợp thành $(x, y) \mapsto \frac{1}{2}(x + y)$, là một quasi-nhóm phân phối.

(c) Trong một quasi-nhóm phân phối $E$, mọi phần tử đều lũy đẳng. Suy ra rằng, nếu E có nhiều hơn một phần tử, luật $\top$ không thể có phần tử đơn vị và cũng không thể kết hợp.

(d) Các phép tịnh tiến phải và trái của một quasi-nhóm phân phối E là các tự đẳng cấu của E.

(e) Nếu E là một quasi-nhóm phân phối hữu hạn, cấu trúc cảm sinh trên mọi tập con ổn định của E là một cấu trúc quasi-nhóm phân phối.

(f) Cho E là một quasi-nhóm phân phối. Nếu R là một quan hệ tương đương tương thích trái (tương ứng, phải) (no. 3) với luật $\top$, các lớp modulo R là các tập con ổn định của E. Nếu E hữu hạn, tất cả các lớp này thu được từ lớp này sang lớp khác bằng phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải); với cùng các điều kiện đó, nếu R tương thích với luật $\top$, cấu trúc thương trên E/R là một cấu trúc quasi-nhóm phân phối.

(g) Cho E là một quasi-nhóm phân phối. Tập hợp $A_a$ các phần tử của E khả hoán với một phần tử a đã cho là ổn định; nếu E hữu hạn, với mọi $x \in A_a$, $A_x = A_a$ (chú ý, dùng (e), rằng tồn tại $y \in A_a$ sao cho $x = a \top y$) và khi x chạy qua E, các tập hợp $A_x$ trùng với các lớp tương đương đối với một quan hệ tương đương tương thích với luật $\top$.

(h) Nếu E là một quasi-nhóm phân phối hữu hạn và luật $\top$ giao hoán, số phần tử của E là lẻ (xét các cặp có thứ tự $(x, y)$ của các phần tử của E sao cho $x \top y = y \top x = a$, trong đó a đã cho).