Exercice 7, § 3

Algèbre, I, p. 123

On suppose données, sur un ensemble E, une addition (associative et commutative) ayant un élément neutre et pour laquelle tous les éléments de E sont inversibles, et une multiplication (associative), distributive par rapport à l’addition (autrement dit, une structure de pseudo-anneau); on pose [x, y] = xy − yx; la loi (x, y) ↦ [x, y] est distributive par rapport à l’addition. Pour que x et y soient permutables pour la multiplication, il faut et il suffit que [x, y] = 0; et on a les identités

[x, y] = -[y, x]; \quad [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

(la seconde est connue sous le nom d’« identité de Jacobi »). La seconde identité s’écrit aussi

[x, [y, z]] - [[x, y], z] = [[z, x], y]

ce qui exprime la « déviation de l’associativité » de la loi [x, y].

Solution

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