Exercice 8, § 3

Algèbre, I, p. 123

Les hypothèses étant les mêmes que dans l’exerc. 7, on pose x T y = xy + yx; la loi T est alors commutative, distributive par rapport à l’addition, mais non associative en général. a) Quel que soit x ∈ E, montrer que $\frac{m+n}{T} x = (\frac{m}{T} x) T (\frac{n}{T} x)$ . b) Si on pose [x, y, z] = (x T y) T z − x T (y T z) (déviation de l’associativité de la loi T), prouver les identités.

[x, y, z] + [z, y, x] = 0 \\ [x, y, z] + [y, z, x] + [z, x, y] = 0 \\ [x T y, u, z] = [u, [(x T y), z]]

(la notation [x, y] ayant le même sens que dans l’exerc. 7)

[x T y, u, z] + [y T z, u, x] + [z T x, u, y] = 0.

Solution

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