Exercice 18, § 4

a) Soit G un groupe à opérateurs, engendré par la réunion d’une famille $(H_i)_{i \in I}$ de sous-groupes stables distingués simples de G. Montrer qu’il existe une partie J de I telle que G soit somme restreinte de la famille $(H_i)_{i \in J}$ (appliquer le théorème de Zorn à l’ensemble des parties K de I telles que le sous-groupe engendré par la réunion des $H_i$ pour $i \in K$ soit somme restreinte de cette famille). b) Soit A un sous-groupe stable distingué de G. Montrer qu’il existe une partie $J_A$ de I telle que G soit somme restreinte de A et des $H_i$ pour $i \in J_A$. En déduire que A est isomorphe à la somme restreinte d’une sous-famille des $H_i$.