Exercice 10, § 5

a) Montrer que les éléments \tau_{12}\tau_{34}, \tau_{13}\tau_{24}, \tau_{14}\tau_{23} du groupe alterné \mathfrak{A}_4 forment, avec l’élément neutre, un sous-groupe commutatif H de \mathfrak{A}_4. Montrer que H est distingué dans \mathfrak{A}_4 et dans \mathfrak{S}_4, et que \mathfrak{A}_4/H est cyclique d’ordre 3. b) Montrer que le centralisateur de H dans \mathfrak{S}_4 est égal à H. En déduire que l’application s ↦ (h ↦ shs^{-1}) de \mathfrak{S}_4 dans Aut(H) définit par passage au quotient un isomorphisme de \mathfrak{S}_4/H sur Aut(H), et que ce dernier groupe est isomorphe à \mathfrak{S}_3. c) Soit K un sous-groupe d’ordre 2 de H. Montrer que K n’est pas distingué dans \mathfrak{A}_4.