Bài tập 10, § 5

(a) Hãy chỉ ra rằng các phần tử $\tau_{12}\tau_{34}, \tau_{13}\tau_{24}, \tau_{14}\tau_{23}$ của nhóm phản xứng $\mathfrak{A}_4$ cùng với phần tử đơn vị lập thành một nhóm con giao hoán H của $\mathfrak{A}_4$. Hãy chỉ ra rằng H là chuẩn tắc trong $\mathfrak{A}_4$ và trong $\mathfrak{S}_4$ và rằng $\mathfrak{A}_4/H$ là cyclic cấp 3.

(b) Hãy chỉ ra rằng bộ tập trung hóa của H trong $\mathfrak{S}_4$ bằng H. Suy ra rằng ánh xạ $s \mapsto (h \mapsto shs^{-1})$ từ $\mathfrak{S}_4$ vào Aut(H) xác định, khi chuyển qua thương, một đẳng cấu của $\mathfrak{S}_4/H$ lên Aut(H), và rằng nhóm sau đẳng cấu với $\mathfrak{S}_3$.

(c) Cho K là một nhóm con của H có cấp 2. Hãy chỉ ra rằng K không là chuẩn tắc trong $\mathfrak{A}_4$.