Exercice 13, § 5

Soit G un groupe transitif de permutations d’un ensemble X, et soit H le stabilisateur d’un élément $x \in X$. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes: a) Tout sous-groupe $H'$ de G contenant H est égal à H ou à G. b) Toute partie Y de X telle que, pour tout $g \in G$, $gY$ soit, ou bien contenue dans Y, ou bien disjointe de Y, est égale à X ou est réduite à un seul élément. (Si $H'$ vérifie a), et si $Y = H'.x$, on a $gY = Y$ pour tout $g \in H'$ et $gY \cap Y = \varnothing$ pour tout $g \notin H'$. Inversement, si Y jouit de la propriété de b), l’ensemble $H'$ des $g \in G$ tels que $gY = Y$ est un sous-groupe de G contenant H.) Un groupe transitif de permutations G vérifiant a) et b), et non réduit à l’élément neutre, est dit primitif.