Bài tập 13, § 5

Cho G là một nhóm hoán vị bắc cầu của một tập hợp X và H là nhóm ổn định của một phần tử $x \in X$. Chứng minh sự tương đương của các tính chất sau:

(a) Mọi nhóm con H' của G chứa H đều bằng H hoặc G.

(b) Mọi tập con Y của X sao cho, với mọi $g \in G$, $gY$ hoặc được chứa trong Y hoặc rời nhau với Y, đều bằng X hoặc gồm một phần tử.

(Nếu H' thỏa mãn (a) và $Y = H'x$, thì $gY = Y$ với mọi $g \in H'$ và $gY \cap Y = \varnothing$ với mọi $g \notin H'$. Ngược lại, nếu Y có tính chất trong (b), tập hợp H' gồm các $g \in G$ sao cho $gY = Y$ là một nhóm con của G chứa H.)

Một nhóm hoán vị bắc cầu G thỏa mãn (a) và (b) và không chỉ gồm phần tử đơn vị được gọi là nguyên thủy.