Exercice 14, § 5

On dit qu’un groupe de permutations $\Gamma$ d’un ensemble E est r fois transitif si, quelles que soient les deux suites $(a_1, a_2, \ldots, a_r), (b_1, b_2, \ldots b_r)$ de r éléments distincts de E, il existe une permutation $\sigma \in \Gamma$ telle que $\sigma(a_i) = b_i$ pour $1 \leq i \leq r$, cette propriété n’ayant plus lieu pour un couple au moins de suites de $r + 1$ éléments distincts de E. a) Montrer qu’un groupe r fois transitif est primitif si $r > 1$. b) L’ordre d’un groupe de permutations $\Gamma$ de n objets, r fois transitif est de la forme $n(n-1)\ldots(n-r+1)d$, où d est un diviseur de $(n-r)!$ (considérer le sous-groupe des permutations de $\Gamma$ laissant invariants r éléments, et calculer son indice).